Analysis Beispiele

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{y} + y e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

Schritt 1.2.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ um.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

Schritt 1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Stelle die Faktoren in $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ um.

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

Schritt 1.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.2.1

Subtrahiere $y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

Schritt 1.5.2.2

Subtrahiere $e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' e^{y} + y' e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y' e^{y}$ heraus.

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{x}$ heraus.

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ heraus.

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ durch $x e^{y} + e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ durch $x e^{y} + e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x e^{y} + e^{x}$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y e^{x}$ heraus.

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{y}$ heraus.

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y e^{x}) - (e^{y})$ heraus.

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.4.3.5.1

Schreibe $- (y e^{x} + e^{y})$ als $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ um.

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $e^{0}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Schritt 1.7.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Schritt 1.7.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Vereinfache.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $e$ .

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

Schritt 1.7.4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

Schritt 1.7.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$- \frac{1 + e}{1}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.7.5.1

Dividiere $1 + e$ durch $1$ .

$- (1 + e)$

Schritt 1.7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - e$

Schritt 1.7.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - e$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1 - e$ und einen gegebenen Punkt $(0, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 1 x - e x$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 1 = - x - e x$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x - e x + 1$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Bewege $e$ .

$y = - x - 1 x e + 1$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - x e + 1$

Schritt 2.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

Schritt 2.3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $- x e$ heraus.

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 1 + x (- e)$ heraus.

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

Schritt 2.3.3.6

Mutltipliziere $- 1 - e$ mit $x$ .

$y = (- 1 - e) x + 1$

Schritt 3