Analysis Beispiele

$x^{4} y^{4} = 16$ , $(2, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{4} y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y^{4}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$4 \cdot x^{4} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} (4 x^{3})$

Schritt 1.2.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3}$

Schritt 1.3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3} = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Subtrahiere $4 y^{4} x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ durch $4 x^{4} y^{3}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ durch $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{4} x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4} y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{4} x^{3}}{x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{4}$ und $y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- y^{4} x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{x^{4} y^{3}}$

Schritt 1.5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x^{4} y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Schritt 1.5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Schritt 1.5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y x^{3}}{x^{4}}$

Schritt 1.5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- y x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{4}}$

Schritt 1.5.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 1.5.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{y}{2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Schritt 3