Analysis Beispiele

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere.

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Schritt 1.3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Schritt 1.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Schritt 1.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Schritt 1.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Schritt 1.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3 (1)}{2}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 \cdot 1}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.7.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.7.5

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.7.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Schritt 1.7.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{4}$

Schritt 1.7.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 + 6}{4}$

Schritt 1.7.8.2

Addiere $3$ und $6$ .

$\frac{9}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{9}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = \frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{9}{4}$ und $x$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{9}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{9}{4}$ und $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2$

Schritt 2.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 8}{4}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 9$ und $8$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{9}{4} x - \frac{1}{4}$

Schritt 3