Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 8$ , $(4, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 y'$

Schritt 1.2.5

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2$

Schritt 1.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2 = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + 4 y' - 2 = - 2 x$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + 4 y' = - 2 x + 2$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' + 4 y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y + 4 y' = - 2 x + 2$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $4 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 2 x + 2$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ heraus.

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ durch $2 (y + 2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ durch $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{1}{y + 2}$

Schritt 1.5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x + 1}{y + 2}$

Schritt 1.5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- (x) + 1}{y + 2}$

Schritt 1.5.3.3.2.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y + 2}$

Schritt 1.5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{- (x - 1)}{y + 2}$

Schritt 1.5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y + 2}$

Schritt 1.5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 4$ und $y = 0$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$- \frac{(4) - 1}{y + 2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$- \frac{(4) - 1}{(0) + 2}$

Schritt 1.7.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- \frac{3}{0 + 2}$

Schritt 1.7.4

Addiere $0$ und $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{3}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Schritt 2.3.2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 6$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{2} x + 6$

Schritt 3