Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 16$ , $(4, 8)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 1.2.2.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 1.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 1.2.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x + \frac{1}{8} (2 y y')$

Schritt 1.2.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$x + \frac{2}{8} (y y')$

Schritt 1.2.3.5

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{8}$ .

$x + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

Schritt 1.2.3.6

Kombiniere $\frac{y \cdot 2}{8}$ und $y'$ .

$x + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

Schritt 1.2.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

Schritt 1.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 1.2.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$x + \frac{2 (y y')}{8}$

Schritt 1.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{y y'}{4}$

Schritt 1.3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x + \frac{y y'}{4} = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y y'}{4} = - x$

Schritt 1.5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Schritt 1.5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Schritt 1.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y y' = 4 (- x)$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y y' = - 4 x$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - 4 x$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - 4 x$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 4$ und $y = 8$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$- \frac{4 (4)}{y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $8$ .

$- \frac{4 (4)}{8}$

Schritt 1.7.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{2}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 1.7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 2$ und einen gegebenen Punkt $(4, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = - 2 \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 2 \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = - 2 x - 2 \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y - 8 = - 2 x + 8$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 x + 8 + 8$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $8$ und $8$ .

$y = - 2 x + 16$

Schritt 3