Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Schreibe die linke Seite um mit rationalen Exponenten.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Schritt 1.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{4}}$ als $y^{\frac{4}{3}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Schritt 1.2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Schritt 1.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Schritt 1.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Schritt 1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Schritt 1.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Schritt 1.3.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Schritt 1.3.3.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Schritt 1.3.3.8

Kombiniere $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ und $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Schritt 1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Schritt 1.6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.6.1

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ um.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.6.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.6.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

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Schritt 1.6.4.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.6.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.6.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.6.4.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.6.4.1.1.5

Dividiere $y' y^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

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Schritt 1.6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.6.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.6.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.6.4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.6.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.6.5

Teile jeden Ausdruck in $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ durch $y^{\frac{1}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 1.6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ durch $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.6.5.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.6.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.6.5.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.8

Berechne bei $x = 1$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.8.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.8.3

Multipliziere ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.8.3.1

Bewege ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 1.8.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 1.8.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Schritt 1.8.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.8.3.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Schritt 1.8.4

Vereinfache $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Schritt 3