Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} = 49$ , $(1, 7)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 7$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (49)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Schritt 1.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 1.3

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ durch $2 x^{2} y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ durch $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.2.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Schritt 1.5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- y x$ heraus.

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 1.5.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 7$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$- \frac{y}{1}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $7$ .

$- \frac{7}{1}$

Schritt 1.7.3

Dividiere $7$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 7$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 7$ und einen gegebenen Punkt $(1, 7)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (7) = - 7 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 7 = - 7 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 7 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 7 = 0 + 0 - 7 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 7 = - 7 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 7 = - 7 x - 7 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$y - 7 = - 7 x + 7$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 7 x + 7 + 7$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $7$ und $7$ .

$y = - 7 x + 14$

Schritt 3