Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0 - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 6.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 6.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 6.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})$ .

$0$