Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 1}{3 - x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 3} 3 - x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 - x}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 - x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 - x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 - lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{3 - lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{3 - lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{3 + 3}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 1}{3 + 3}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{9 - 1}{3 + 3}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\frac{8}{3 + 3}$

Schritt 8.2

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{8}{6}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (4)}{6}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{3}$