Analysis Beispiele

$\frac{lim_{t \to 15} t^{2} + 3 t - 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $15$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 15} t^{2} + lim_{t \to 15} 3 t - lim_{t \to 15} 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{t \to 15} t)}^{2} + lim_{t \to 15} 3 t - lim_{t \to 15} 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{{(lim_{t \to 15} t)}^{2} + 3 lim_{t \to 15} t - lim_{t \to 15} 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $270$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $15$ annähert.

$\frac{{(lim_{t \to 15} t)}^{2} + 3 lim_{t \to 15} t - 1 \cdot 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $15$ für alle $t$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $15$ für $t$ .

$\frac{15^{2} + 3 lim_{t \to 15} t - 1 \cdot 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $15$ für $t$ .

$\frac{15^{2} + 3 \cdot 15 - 1 \cdot 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$\frac{225 + 3 \cdot 15 - 1 \cdot 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$\frac{225 + 45 - 1 \cdot 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $270$ .

$\frac{225 + 45 - 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 6.1.4

Addiere $225$ und $45$ .

$\frac{270 - 270}{t^{2} - 225}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $270$ von $270$ .

$\frac{0}{t^{2} - 225}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$\frac{0}{t^{2} - 15^{2}}$

Schritt 6.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 15$ .

$\frac{0}{(t + 15) (t - 15)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(t + 15) (t - 15)$ .

$0$