Analysis Beispiele

$\frac{lim_{t \to 1} t^{2} + t - 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 1} t^{2} + lim_{t \to 1} t - lim_{t \to 1} 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{2} + lim_{t \to 1} t - lim_{t \to 1} 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{2} + lim_{t \to 1} t - 1 \cdot 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $t$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $1$ für $t$ .

$\frac{1^{2} + lim_{t \to 1} t - 1 \cdot 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $1$ für $t$ .

$\frac{1^{2} + 1 - 1 \cdot 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2}{t^{2} - 1}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{t^{2} - 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{t^{2} - 1^{2}}$

Schritt 5.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(t + 1) (t - 1)}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $(t + 1) (t - 1)$ .

$0$