Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} (x^{4} - 3 x) (x^{2} + 5 x + 3)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$lim_{x \to - 1} x^{4} - 3 x \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$(lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 3 x) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 3 x) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$({(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 lim_{x \to - 1} x) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$({(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 lim_{x \to - 1} x) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 3)$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 lim_{x \to - 1} x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 3)$

Schritt 7

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$({(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 lim_{x \to - 1} x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$({(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 3 lim_{x \to - 1} x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$({(- 1)}^{4} - 3 lim_{x \to - 1} x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$({(- 1)}^{4} - 3 \cdot - 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$({(- 1)}^{4} - 3 \cdot - 1) \cdot ({(- 1)}^{2} + 5 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$({(- 1)}^{4} - 3 \cdot - 1) \cdot ({(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3)$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$(1 - 3 \cdot - 1) \cdot ({(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3)$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$(1 + 3) \cdot ({(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3)$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $3$ .

$4 \cdot ({(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3)$

Schritt 10.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \cdot (1 + 5 \cdot - 1 + 3)$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 \cdot (1 - 5 + 3)$

Schritt 10.4

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$4 \cdot (- 4 + 3)$

Schritt 10.5

Addiere $- 4$ und $3$ .

$4 \cdot - 1$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4$