Analysis Beispiele

$\frac{lim_{t \to 0} e^{2 t} - 1}{\sin (t)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{2 t} - lim_{t \to 0} 1}{\sin (t)}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} 2 t} - lim_{t \to 0} 1}{\sin (t)}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{e^{2 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{\sin (t)}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{2 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Schritt 3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (t)}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (t)}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\sin (t)}$

Schritt 3.2

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 3.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{0}{1} \csc (t)$

Schritt 3.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \csc (t)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\csc (t)$ .

$0$