Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} {(\frac{n - 3}{n})}^{n}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\frac{n - 3}{n})}^{n}$ als $e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$ um.

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n - 3}{n})}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8})}$

Schritt 4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${(\frac{8 - 3}{8})}^{8}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

${(\frac{5}{8})}^{8}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{8}$ an.

$\frac{5^{8}}{8^{8}}$

Schritt 4.5

Potenziere $5$ mit $8$ .

$\frac{390625}{8^{8}}$

Schritt 4.6

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{390625}{16777216}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{390625}{16777216}$

Dezimalform:

$0.02328306 \dots$