Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (5 x^{2})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2}))}^{2} + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (3 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{x^{2}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Schritt 10.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2} + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Schritt 10.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (0)}{x^{2}}$

Schritt 10.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0^{2}}{x^{2}}$

Schritt 10.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{2}}$

Schritt 10.1.8

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 10.2

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$