Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{\sin (2 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{\sin (2 x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{\sin (2 x)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.2

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$\frac{0}{1} \csc (2 x)$

Schritt 6.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \csc (2 x)$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $0$ mit $\csc (2 x)$ .

$0$