Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 2 x}}{x}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 2 x}}{x}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}}{x}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} 2 x}}{x}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - 2 lim_{x \to 0} x}}{x}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - \sqrt{1 - 2 lim_{x \to 0} x}}{x}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Schritt 11.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Schritt 11.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 2 \cdot 0}}{x}$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{x}$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x}$

Schritt 11.1.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 11.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x}$

Schritt 11.1.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x}$

Schritt 11.2

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$