Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{8 + x} - 2}{x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{8 + x} - lim_{x \to 0} 2}{x}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 8 + x} - lim_{x \to 0} 2}{x}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 8 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{x}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{8 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{x}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{8 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 + 0} - 1 \cdot 2}{x}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{8} - 1 \cdot 2}{x}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} - 1 \cdot 2}{x}$

Schritt 3.1.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{x}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{x}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{x}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$