Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $h$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{h}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(0 + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{h}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(0 + h)}^{3} - 0^{3}}{h}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{h^{3} - 0^{3}}{h}$

Schritt 7.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{h^{3} - 0}{h}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{h^{3} + 0}{h}$

Schritt 7.1.4

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$\frac{h^{3}}{h}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $h^{3}$ und $h$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{3}$ heraus.

$\frac{h \cdot h^{2}}{h}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h \cdot h^{2}}{h^{1}}$

Schritt 7.2.2.2

Faktorisiere $h$ aus $h^{1}$ heraus.

$\frac{h \cdot h^{2}}{h \cdot 1}$

Schritt 7.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot h^{2}}{h \cdot 1}$

Schritt 7.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{h^{2}}{1}$

Schritt 7.2.2.5

Dividiere $h^{2}$ durch $1$ .

$h^{2}$