Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 9.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos (\frac{π}{3})$ heraus.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.1.1.3

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ .

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.6

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.1.9.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{2}$ .

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 9.3

Dividiere $0$ durch $2 \cos (x) - 1$ .

$0$