Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{1 - e^{2 x}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{1^{2} - e^{2 x}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$\frac{0}{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e^{x}$ .

$\frac{0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(1 + e^{x}) (1 - e^{x})$ .

$0$