Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (7 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (7 x))}^{2}}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 7 x)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 1.5

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \sec^{2} (7 lim_{x \to 0} x)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (7 \cdot 0)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Stelle $1$ und $- \sec^{2} (7 \cdot 0)$ um.

$\frac{- \sec^{2} (7 \cdot 0) + 1}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (7 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{- (\sec^{2} (7 \cdot 0)) + 1}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- \sec^{2} (7 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (7 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- (\sec^{2} (7 \cdot 0) - 1)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \tan^{2} (7 \cdot 0)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (0)}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{- 0^{2}}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 0}{{(3 x)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$\frac{- 0}{3^{2} x^{2}}$

Schritt 3.7.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 0}{9 x^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{9 x^{2}}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $9$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $9$ aus $0$ heraus.

$\frac{9 (0)}{9 x^{2}}$

Schritt 3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 (0)}{9 (x^{2})}$

Schritt 3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot 0}{9 x^{2}}$

Schritt 3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 3.10

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$