Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von ${(1 + h)}^{4} - 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe ${(1 + h)}^{4}$ als ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(1 + h)}^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Schreibe ${(1 + h)}^{2}$ als $(1 + h) (1 + h)$ um.

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.2

Multipliziere $(1 + h) (1 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.3.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.3.1.4

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.3.2

Addiere $h$ und $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Schritt 2.1.4.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1 + h$ und $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

Schritt 2.1.4.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

Schritt 2.1.4.8.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

Schritt 2.1.4.8.3

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ durch $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

Schritt 2.3

Multipliziere $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Multipliziere $h^{2}$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Bewege $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Schritt 2.5

Addiere $2 h^{2}$ und $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Schritt 2.6

Addiere $4 h$ und $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$