Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{x^{2}}$

Schritt 6.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{2}}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$