Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - 1}{2 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 1}{2 x}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 1}{2 x}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{2 x}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{2 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{2 x}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{2 x}$

Schritt 3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{2 x}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{2 x}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{2 x}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 x}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (x)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 x}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$