Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x \tan (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x \tan (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 \cdot \tan (0)}{\sin (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Separiere Brüche.

$\frac{3 \cdot 0}{1} \cdot \frac{\tan (0)}{\sin (x)}$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{3 \cdot 0}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (0)}{\cos (0)}}{\sin (x)}$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{\frac{\sin (0)}{\cos (0)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{3 \cdot 0}{1} (\frac{\sin (0)}{\cos (0)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{\sin (0)}{\cos (0)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 \cdot 0}{1} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (0) \sin (x)}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{1} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (0) \sin (x)}$

Schritt 5.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \frac{\sin (0)}{\cos (0) \sin (x)}$

Schritt 5.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 \frac{0}{\cos (0) \sin (x)}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 \frac{0}{1 \sin (x)}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$0 \frac{0}{\sin (x)}$

Schritt 5.9

Dividiere $0$ durch $\sin (x)$ .

$0 \cdot 0$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0$