Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - 5 \sin (3 x)}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 5 lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 5 \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 5 \sin (3 \cdot 0)}{x}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 5 \sin (3 \cdot 0)}{x}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 - 5 \sin (0)}{x}$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0}{x}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{x}$

Schritt 7.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{x}$

Schritt 7.2

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$