Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - 25}{2 x - 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{2 x - 2}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(10 x - 5)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{2 x - 2}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{2 x - 2}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{2 x - 2}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{2 x - 2}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{2 x - 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{{(10 \cdot 1 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{2 x - 2}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{{(10 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{2 x - 2}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{{(10 - 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{2 x - 2}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{2 x - 2}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{2 x - 2}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{25 - 25}{2 x - 2}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$\frac{0}{2 x - 2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{0}{2 (x) - 2}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{0}{2 (x) + 2 (- 1)}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{0}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x - 1}$

Schritt 3.4

Dividiere $0$ durch $x - 1$ .

$0$