Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0.5} 2 x - 1}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0.5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0.5} 2 x - lim_{x \to 0.5} 1}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0.5} x - lim_{x \to 0.5} 1}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0.5$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 0.5} x - 1 \cdot 1}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0.5$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0.5 - 1 \cdot 1}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{0}{| x^{2} (2 x) - x^{2} |}$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{0}{| x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 |}$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{0}{| x^{2} (2 x - 1) |}$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{| x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 |}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{0}{| 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 |}$

Schritt 3.2.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{0}{| 2 x^{2} x - 1 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.5.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{0}{| 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.2.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{0}{| 2 (x^{1} x^{2}) - 1 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.2.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{| 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.2.5.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{0}{| 2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{0}{| 2 x^{3} - x^{2} |}$

Schritt 3.2.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{0}{| x^{2} (2 x) - x^{2} |}$

Schritt 3.2.6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{0}{| x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{0}{| x^{2} (2 x - 1) |}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $| x^{2} (2 x - 1) |$ .

$0$