Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} x \sin (x)}{3 - 3 \cos (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{3 - 3 \cos (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{3 - 3 \cos (x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{3 - 3 \cos (x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{3 - 3 \cos (x)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3 - 3 \cos (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $0 \cdot \sin (0)$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot \sin (0))}{3 - 3 \cos (x)}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot \sin (0))}{3 (1) - 3 \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \cos (x)$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot \sin (0))}{3 (1) + 3 (- \cos (x))}$

Schritt 4.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot \sin (0))}{3 (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (0 \cdot \sin (0))}{3 (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$\frac{0}{1 - \cos (x)}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $1 - \cos (x)$ .

$0$