Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) - \cos (0)}{x}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - \cos (0)}{x}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - 1}{x}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{x}$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x}$