Analysis Beispiele

$x^{3} - 7 = 0$ , $a = 2$

Schritt 1

Ermittle die Ableitung von $f (x) = x^{3} - 7$ zur Verwendung im Newton-Verfahren.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2

Schreibe eine Formel auf, um die $x_{2}$ -Näherung zu ermitteln.

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}$

Schritt 3

Setze den Wert von $x_{1}$ in die nächste Näherung des Newton-Verfahrens ein.

$x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite der Gleichung, um $x_{2}$ zu ermitteln.

$x_{2} = 1.91\overline{6}$

Schritt 5

Schreibe eine Formel auf, um die $x_{3}$ -Näherung zu ermitteln.

$x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}$

Schritt 6

Setze den Wert von $x_{2}$ in die nächste Näherung des Newton-Verfahrens ein.

$x_{3} = 1.91\overline{6} - \frac{{(1.91\overline{6})}^{3} - 7}{3 {(1.91\overline{6})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite der Gleichung, um $x_{3}$ zu ermitteln.

$x_{3} = 1.91293845$

Schritt 8

Schreibe eine Formel auf, um die $x_{4}$ -Näherung zu ermitteln.

$x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

Schritt 9

Setze den Wert von $x_{3}$ in die nächste Näherung des Newton-Verfahrens ein.

$x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite der Gleichung, um $x_{4}$ zu ermitteln.

$x_{4} = 1.91293118$

Schritt 11

Schreibe eine Formel auf, um die $x_{5}$ -Näherung zu ermitteln.

$x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}$

Schritt 12

Setze den Wert von $x_{4}$ in die nächste Näherung des Newton-Verfahrens ein.

$x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache die rechte Seite der Gleichung, um $x_{5}$ zu ermitteln.

$x_{5} = 1.91293118$

Schritt 14

Schreibe eine Formel auf, um die $x_{6}$ -Näherung zu ermitteln.

$x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}$

Schritt 15

Setze den Wert von $x_{5}$ in die nächste Näherung des Newton-Verfahrens ein.

$x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Schritt 16

Vereinfache die rechte Seite der Gleichung, um $x_{6}$ zu ermitteln.

$x_{6} = 1.91293118$

Schritt 17

Da die $6 t h$ - und $5 t h$ -Näherungen auf $6$ Dezimalstellen gleich sind, ist $1.91293118$ die Näherung der Wurzel.

$1.91293118$