Analysis Beispiele

$y = x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ , $(1, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$1 + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$1 + 12 x - 3 (4 x^{3})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$1 + 12 x - 12 x^{3}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 12 x^{3} + 12 x + 1$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- 12 {(1)}^{3} + 12 (1) + 1$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 12 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$- 12 + 12 (1) + 1$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$- 12 + 12 + 1$

Schritt 1.6.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.6.2.1

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0 + 1$

Schritt 1.6.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$y - 4 = x - 1$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 1 + 4$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$y = x + 3$

Schritt 3