Analysis Beispiele

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 x$ .

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.2.5

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (7 x)$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 1.3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

Schritt 1.3.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Schritt 1.6.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

Schritt 1.6.1.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

Schritt 1.6.1.6

Mutltipliziere $14$ mit $0$ .

$0 + 7 \cos (7 (0))$

Schritt 1.6.1.7

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$0 + 7 \cos (0)$

Schritt 1.6.1.8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Schritt 1.6.1.9

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$0 + 7$

Schritt 1.6.2

Addiere $0$ und $7$ .

$7$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $7$ und einen gegebenen Punkt $(0, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 7 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = 7 x$

Schritt 3