Analysis Beispiele

y = ln (x^{2})

$y = \ln (x^{2})$ ,

(2, ln (4))

$(2, \ln (4))$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei

x = 2

$x = 2$ und

y = ln (4)

$y = \ln (4)$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

f (x) = ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ und

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{d}{d u} [ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von

ln (u)

$\ln (u)$ nach

u

$u$ ist

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ .

\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

\frac{1}{x^{2}} (2 x)

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere

2

$2$ und

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$ .

\frac{2}{x^{2}} x

$\frac{2}{x^{2}} x$

Schritt 1.2.2.2

Kombiniere

\frac{2}{x^{2}}

$\frac{2}{x^{2}}$ und

x

$x$ .

\frac{2 x}{x^{2}}

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

x

$x$ und

x^{2}

$x^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

2 x

$2 x$ heraus.

\frac{x \cdot 2}{x^{2}}

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

x^{2}

$x^{2}$ heraus.

\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 1.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei

$x = 2$ .

$\frac{2}{2}$

Schritt 1.4

Dividiere

$2$ durch

$2$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für

$y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung

$1$ und einen gegebenen Punkt

$(2, \ln (4))$ , um

$x_{1}$ und

$y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\ln (4)) = 1 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \ln (4) = 1 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere

$x - 2$ mit

$1$ .

$y - \ln (4) = x - 2$

Schritt 2.3.2

Addiere

$\ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 2 + \ln (4)$

Schritt 3