Analysis Beispiele

$y = 3 x - 2 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.12

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$3 - \frac{1}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 - \frac{1}{1}$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 - \frac{1}{1}$

Schritt 1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 2 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y - 1 = 2 x - 2$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x - 2 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$y = 2 x - 1$

Schritt 3