Analysis Beispiele

$y = 1 - 6 x^{2}$ at, $(- 4, - 95)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 4$ und $y = - 95$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 6 (2 x)$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$0 - 12 x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $12 x$ von $0$ .

$- 12 x$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 4$ .

$- 12 \cdot - 4$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$48$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $48$ und einen gegebenen Punkt $(- 4, - 95)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 95) = 48 \cdot (x - (- 4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 95 = 48 \cdot (x + 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $48 \cdot (x + 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 95 = 0 + 0 + 48 \cdot (x + 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 95 = 48 \cdot (x + 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 95 = 48 x + 48 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$y + 95 = 48 x + 192$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $95$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 48 x + 192 - 95$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $95$ von $192$ .

$y = 48 x + 97$

Schritt 3