Analysis Beispiele

$y = - 1 - 4 x^{2}$ , $(4, - 65)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = - 65$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 1 - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$0 - 8 x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $8 x$ von $0$ .

$- 8 x$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- 8 \cdot 4$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$- 32$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 32$ und einen gegebenen Punkt $(4, - 65)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 65) = - 32 \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 65 = - 32 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 32 \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 65 = 0 + 0 - 32 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 65 = - 32 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 65 = - 32 x - 32 \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 4$ .

$y + 65 = - 32 x + 128$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $65$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 32 x + 128 - 65$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $65$ von $128$ .

$y = - 32 x + 63$

Schritt 3