Analysis Beispiele

$y = x^{4} + 2 e^{x}$ , $(0, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 2 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 2 e^{x}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 2 e^{0}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 + 2 e^{0}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 2 e^{0}$

Schritt 1.4.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 1.4.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(0, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 2 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 2 = 2 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x + 2$

Schritt 3