Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} 3 {(a + h)}^{2} - 3 a^{2}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 3 {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{3 lim_{h \to 0} {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(a + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $3 a^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 a^{2}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{3 {(a + 0)}^{2} - 3 a^{2}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(a + 0)}^{2} - 3 a^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(a + 0)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 ({(a + 0)}^{2}) - 3 a^{2}}{h}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 a^{2}$ heraus.

$\frac{3 ({(a + 0)}^{2}) + 3 (- a^{2})}{h}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 ({(a + 0)}^{2}) + 3 (- a^{2})$ heraus.

$\frac{3 ({(a + 0)}^{2} - a^{2})}{h}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a + 0$ und $b = a$ .

$\frac{3 ((a + 0 + a) (a + 0 - a))}{h}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{3 ((a + a) (a + 0 - a))}{h}$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{3 (2 a (a + 0 - a))}{h}$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{3 (2 a (a - a))}{h}$

Schritt 3.1.3.4

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{3 (2 a \cdot 0)}{h}$

Schritt 3.1.3.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.3.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{3 (0 a)}{h}$

Schritt 3.1.3.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $a$ .

$\frac{3 \cdot 0}{h}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$