Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} h - x h^{2} + h^{3}}{h}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} h - lim_{h \to 0} x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}}{h}$

Schritt 2

Ziehe den Term $x^{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}}{h}$

Schritt 3

Ziehe den Term $x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} h - x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}}{h}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} h - x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}}{h}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $h^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} h - x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}{h}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{x^{2} \cdot 0 - x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}{h}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{x^{2} \cdot 0 - x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}{h}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{x^{2} \cdot 0 - x \cdot 0^{2} + 0^{3}}{h}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $0$ .

$\frac{0 - x \cdot 0^{2} + 0^{3}}{h}$

Schritt 7.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - x \cdot 0 + 0^{3}}{h}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $- x \cdot 0$ .

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{0 + 0 x + 0^{3}}{h}$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{0 + 0 + 0^{3}}{h}$

Schritt 7.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{h}$

Schritt 7.1.5

Addiere $0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{h}$

Schritt 7.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 7.2

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$