Analysis Beispiele

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (5 x)}{\cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \tan (5 x))}{2}}{5}$

Schritt 1

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \tan (5 x))}{2}}{5}$

Schritt 2

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}) + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.2

Multipliziere $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ mit $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x) \cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos^{1} (5 x) \cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{{\cos (5 x)}^{1 + 1}} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{\frac{1 \sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Schritt 3.5

Um $\frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2} \cdot \frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}}{5}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}$ mit $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)}}{5}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)}}{5}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x) \cdot 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{10 \cos^{2} (5 x)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (5 x)}$ nach $\sec (5 x)$ um.

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\sec (5 x) + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{10 \cos^{2} (5 x)}$

Schritt 6.2

Wandle von $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ nach $\tan (5 x)$ um.

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\sec (5 x) + \tan (5 x)) \cos^{2} (5 x)}{10 \cos^{2} (5 x)}$