Analysis Beispiele

$2 \ln (\sec (x))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \ln (\sec^{2} (x))$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \ln (\sec^{2} (x))$ auftritt.

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\sqrt{\frac{π}{2}}$ als $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Schritt 1.2.2.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Schritt 1.2.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 1.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 1.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 1.2.5

Löse in $\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Schritt 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Undefiniert

Schritt 1.2.6

Löse in $\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Schritt 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Undefiniert

Schritt 1.2.7

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $\sec^{2} (x)$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.4.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.4.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.4.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Schritt 1.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 1.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 1.4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 1.4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 1.4.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 1.4.5

Löse in $\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.5.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Schritt 1.4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.5.2.1

Berechne $arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 1.09205895$

Schritt 1.4.5.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Schritt 1.4.5.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.5.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Schritt 1.4.5.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.09205895$ .

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Schritt 1.4.5.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

Schritt 1.4.5.4.2.2

Subtrahiere $1.09205895$ von $6.2831853$ .

$x = 5.19112635$

Schritt 1.4.5.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 1.4.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.4.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.4.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.4.5.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.4.5.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4.6

Löse in $\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.6.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Schritt 1.4.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.6.2.1

Berechne $arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 2.0495337$

Schritt 1.4.6.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Schritt 1.4.6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.6.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Schritt 1.4.6.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 2.0495337$ .

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Schritt 1.4.6.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

Schritt 1.4.6.4.2.2

Subtrahiere $2.0495337$ von $6.2831853$ .

$x = 4.2336516$

Schritt 1.4.6.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 1.4.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.4.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.4.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.4.6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.4.6.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4.8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 1.4.8.1

Führe $1.09205895 + 2 π n$ und $4.2336516 + 2 π n$ zu $1.09205895 + π n$ zusammen.

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4.8.2

Führe $5.19112635 + 2 π n$ und $2.0495337 + 2 π n$ zu $2.0495337 + π n$ zusammen.

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \ln (\sec^{2} (x))$ tritt auf bei $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ , wobei und $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ vertikale Asymptoten sind.

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \ln (\sec^{2} (x))$ treten auf bei , $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ und jedem $π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$π n$

Schritt 1.8

Es gibt nur vertikale Asymptoten für Sekans- und Kosekansfunktionen.

Vertikale Asymptoten: $x = π n$ für jede Ganzzahl $n$

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = π n$ für jede Ganzzahl $n$

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Berechne $\sec (1)$ .

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $2 \ln (1.85081571)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

Schritt 2.2.3

Potenziere $1.85081571$ mit $2$ .

$f (1) = \ln (3.42551882)$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (3.42551882)$ .

$\ln (3.42551882)$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 5$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Berechne $\sec (5)$ .

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $2 \ln (3.52532008)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

Schritt 3.2.3

Potenziere $3.52532008$ mit $2$ .

$f (5) = \ln (12.4278817)$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (12.4278817)$ .

$\ln (12.4278817)$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 6$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\sec (6)$ .

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $2 \ln (1.04148192)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

Schritt 4.2.3

Potenziere $1.04148192$ mit $2$ .

$f (6) = \ln (1.0846846)$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (1.0846846)$ .

$\ln (1.0846846)$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ und den Punkten $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ .

Vertikale Asymptote: $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

Schritt 6