Analysis Beispiele

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $\ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $y \sqrt{x} = \ln (x)$ durch $\sqrt{x}$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y \sqrt{x} = \ln (x)$ durch $\sqrt{x}$ .

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 1.2.3.2.6.5

Vereinfache.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 2.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.3

Setze den Nenner in $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 3

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

Schritt 3.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f (0) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 4

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 0)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Dividiere $\ln (1) \sqrt{1}$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

Schritt 5.1.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

Schritt 5.1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 0 \cdot 1$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f (1) = 0$

Schritt 5.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

Schritt 6