Analysis Beispiele

$\ln (\frac{x^{4}}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$\frac{x^{4}}{{(3 x - 2)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{4} = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 1.2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (\frac{{(1)}^{4}}{{(3 (1) - 2)}^{3}})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (\frac{1}{{(3 (1) - 2)}^{3}})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{{(3 - 2)}^{3}})$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{1^{3}})$

Schritt 2.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (\frac{1}{1})$

Schritt 2.2.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Schritt 2.2.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{{(2)}^{4}}{{(3 (2) - 2)}^{3}})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{{(3 (2) - 2)}^{3}})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{{(6 - 2)}^{3}})$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{4^{3}})$

Schritt 3.2.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{64})$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $64$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$f (2) = \ln (\frac{16 (1)}{64})$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$f (2) = \ln (\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4})$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \ln (\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4})$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \ln (\frac{1}{4})$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (\frac{1}{4})$ .

$\ln (\frac{1}{4})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (\frac{1}{4})$ nach Dezimal.

$y = - 1.38629436$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{{(3)}^{4}}{{(3 (3) - 2)}^{3}})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{{(3 (3) - 2)}^{3}})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{{(9 - 2)}^{3}})$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{7^{3}})$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{343})$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (\frac{81}{343})$ .

$\ln (\frac{81}{343})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (\frac{81}{343})$ nach Dezimal.

$y = - 1.44328129$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, - 1.38629436), (3, - 1.44328129)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1.386 \\ 3 & - 1.443 \end{array}$

Schritt 6