Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} + 64)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{2} + 64 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 64$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 64}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

Schritt 1.2.3.4

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 8$

Schritt 1.2.3.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 8 i$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8 i$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8 i$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8 i, - 8 i$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 8 i, x = - 8 i$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 8 i, x = - 8 i$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 64)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1 + 64)$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $64$ .

$f (1) = \ln (65)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (65)$ .

$\ln (65)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (65)$ nach Dezimal.

$y = 4.17438726$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 64)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 64)$

Schritt 3.2.2

Addiere $4$ und $64$ .

$f (2) = \ln (68)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (68)$ .

$\ln (68)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (68)$ nach Dezimal.

$y = 4.2195077$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 64)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 64)$

Schritt 4.2.2

Addiere $9$ und $64$ .

$f (3) = \ln (73)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (73)$ .

$\ln (73)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (73)$ nach Dezimal.

$y = 4.29045944$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 8 i, x = - 8 i$ und den Punkten $(1, 4.17438726), (2, 4.2195077), (3, 4.29045944)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 8 i, x = - 8 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.174 \\ 2 & 4.22 \\ 3 & 4.29 \end{array}$

Schritt 6