Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.3

Subtrahiere $28$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (19)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $28$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (19)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{19}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Schritt 1.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Schritt 1.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $28$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (19)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{19}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

Schritt 1.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Schritt 1.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $1$ und $3$ .

$f (1) = \ln (4 + 7)$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $4$ und $7$ .

$f (1) = \ln (11)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (11)$ .

$\ln (11)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (11)$ nach Dezimal.

$y = 2.39789527$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $4$ und $6$ .

$f (2) = \ln (10 + 7)$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $10$ und $7$ .

$f (2) = \ln (17)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (17)$ nach Dezimal.

$y = 2.83321334$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $9$ und $9$ .

$f (3) = \ln (18 + 7)$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $18$ und $7$ .

$f (3) = \ln (25)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (25)$ nach Dezimal.

$y = 3.21887582$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ und den Punkten $(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Schritt 6