Analysis Beispiele

$\ln (x e^{x})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\ln (x) + x$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $\ln (x) + x$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\ln (x) + x$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{1})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $e^{1}$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (e)$

Schritt 2.2.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (1) = 1 \ln (e)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\ln (e)$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (e)$

Schritt 2.2.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $e^{2}$ .

$f (2) = \ln (2 e^{2})$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (2 e^{2})$ .

$\ln (2 e^{2})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (2 e^{2})$ nach Dezimal.

$y = 2.69314718$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ((3) \cdot e^{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $e^{3}$ .

$f (3) = \ln (3 e^{3})$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (3 e^{3})$ .

$\ln (3 e^{3})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (3 e^{3})$ nach Dezimal.

$y = 4.09861228$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 2.693 \\ 3 & 4.099 \end{array}$

Schritt 6