Analysis Beispiele

$\ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x e^{\sqrt{x}} + 2 > 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 1.2.2

Bestimme den Definitionsbereich von $x e^{\sqrt{x}} + 2$ .

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Schritt 1.2.2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 1.2.3

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 0$

Schritt 1.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln ((0) \cdot e^{\sqrt{0}} + 2)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = \ln ((0) \cdot e^{\sqrt{0}} + 2)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = \ln (0 \cdot e^{\sqrt{0^{2}}} + 2)$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = \ln (0 \cdot e^{0} + 2)$

Schritt 2.2.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = \ln (0 \cdot 1 + 2)$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f (0) = \ln (0 + 2)$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = \ln (2)$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, \ln (2))$ .

$(0, \ln (2))$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \ln (e + 2))$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{\sqrt{1}} + 2)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{\sqrt{1}} + 2)$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $e^{\sqrt{1}}$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (e^{\sqrt{1}} + 2)$

Schritt 4.1.2.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = \ln (e + 2)$

Schritt 4.1.2.2.3

Vereinfache.

$f (1) = \ln (e + 2)$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (e + 2)$ .

$y = \ln (e + 2)$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 2)$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2))$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{\sqrt{2}} + 2)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{\sqrt{2}} + 2)$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $e^{\sqrt{2}}$ .

$f (2) = \ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2)$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2)$ .

$y = \ln (2 e^{\sqrt{2}} + 2)$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, \ln (2)), (1, 1.55), (2, 2.32)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \ln (2) \\ 1 & 1.55 \\ 2 & 2.32 \end{array}$

Schritt 5