Analysis Beispiele

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\ln (\sqrt{x + 1})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 1 > 0^{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + 1 > 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > - 1$

Schritt 1.2.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x + 1}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 \geq 0$

Schritt 1.2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 1.2.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, \infty)$

Schritt 1.2.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > - 1$

Schritt 1.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 \geq 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > - 1}$

Intervallschreibweise:

$(- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > - 1}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $- 1$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Schritt 2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Schritt 2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Schritt 2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 1) = \ln (0)$

Schritt 2.5

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

$f (- 1) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 0)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Schritt 4.1.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Schritt 4.1.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Schritt 5